Minimalflächen

Gegeben ist ein Drahtgitter in Form eines Würfels. Zusammengelötete Drähte bilden die Würfelkanten, die Flächen dazwischen sollen mit einer Gummihaut bespannt werden, und zwar so, dass die Gesamtfläche der Gummihaut möglichst klein ist. Wie sieht das Gebilde aus, das dabei entsteht? Im folgenden wird gezeigt, dass es nicht einfach würfelförmig ist.

Ein Beispiel einer Minimalfläche innerhalb eines Würfelgitters; nur die fetten, schwarzen Linien sind Draht. Alles andere ist, beispielsweise, Seifenfilm

Die Rechnung zeigt, dass die im Bild dargestellte Fläche kleiner ist als die Oberfläche des Würfels.

Angenommen, die Seitenfläche des Würfels sei a Einheiten lang (beispielsweise 100 mm). Wie gross wäre dann seine Gesamtoberfläche O?

Die Berechnung der dargestellten Fläche ist etwas weniger leicht. Die Fläche besteht aus der Oberfläche des kleinen Würfels plus den Flächen der zwölf Trapeze.

Die Kantenlänge des kleinen Würfels sei b Einheiten. Er liege genau zentriert im grossen Würfel, dessen Flächendiagonale f = a*sqrt(2) ist (sqrt: square root, Quadratwurzel).

Die Flächendiagonale des kleinen Würfels g = b*sqrt(2). Sieht man sich das Gebilde genau von der Seite an, erkennt man, dass die Höhe h der Trapeze

h = (f - g)/2 und nach Einsetzen h = 1/sqrt(2) (a - b)

Die Trapezfläche T ist Höhe mal mittlere Breite m, welch letztere durch die Seiten der beiden Würfel bestimmt ist:

h * m = T = 1/sqrt(2) (a - b) * (a + b)/2
  a2 - b2
T = -----------
    2sqrt(2)

Bei diesem vorgegebenen Gebilde (es gibt noch andere Möglichkeiten, eine Minimalfläche in eine Würfelgitter zu packen) sind nun die Masse zu berechnen, die die Fläche minimal werden lassen. Da das Drahtgitter mit Kantenlänge a vorgegeben ist, kann nur noch b variiert werden. Es ist also die Ableitung von T nach b zu bilden.

Das, sowie weitere Möglichkeiten für Minimalflächen in einem würfelförmigen Drahtgitter sollen für eine spätere Version dieser Webpage aufgehoben werden. Im Augenblick soll an einem «von Auge» gewählten Zahlenbeispiel berechnet werden, dass eine Fläche wie abgebildet kleiner ist als die Oberfläche O des Würfels.

Gegeben die folgenden Kantenlängen des grossen bzw des kleinen Würfels;
a) wie gross ist die Oberfläche des grosse Würfels?
b) wie gross ist die Fläche F des dargestellten Gebildes?
c) ist F < O?

Zahlenbeispiel:
a = 100
b = 33


Hier gibts Lösungen.

Taucht man ein solches Gitter in Seifenlösung ein, stellt sich - manchmal - ein Seifenfilm ein wie dargestellt (aber nein, nicht farbig. Die Farbe dient nur zur Verdeutlichung :-). Eine andere Minimalfläche in einem kubischen Drahtgitter wird hier später vorgestellt.